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52. distrib


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52.1 Introduction to distrib

パッケージ distribには 離散と連続両方の単変量モデル上の確率計算を行う関数一式が入っています。

以下は基本的な確率関連の定義の短い復習です。

f(x)を 絶対連続確率変数 Xdensity function, 密度函数とします。 distribution function, 分布函数は以下のように定義されます。

 
                       x
                      /
                      [
               F(x) = I     f(u) du
                      ]
                      /
                       minf

これは確率 Pr(X <= x)に等しいです。

mean, 平均値は局所化パラメータで、以下のように定義されます。

 
                     inf
                    /
                    [
           E[X]  =  I   x f(x) dx
                    ]
                    /
                     minf

variance, 分散は変動の測度です。

 
                 inf
                /
                [                    2
         V[X] = I     f(x) (x - E[X])  dx
                ]
                /
                 minf

これは正の実数です。 分散の平方根は standard deviation, 標準偏差, D[X]=sqrt(V[X])で、 変動の別の測度です。

skewness coefficient, 歪度係数は非対称性の測度です。

 
                 inf
                /
            1   [                    3
  SK[X] = ----- I     f(x) (x - E[X])  dx
              3 ]
          D[X]  /
                 minf

kurtosis coefficient, 尖度係数は分布のとんがり具合を評価します。

 
                 inf
                /
            1   [                    4
  KU[X] = ----- I     f(x) (x - E[X])  dx - 3
              4 ]
          D[X]  /
                 minf

もし Xがガウシアンなら、 KU[X]=0です。 実際、歪度と尖度は分布の非ガウシアン性を評価するのに使われる形状パラメータです。

もし確率変数 Xが離散的なら、密度すなわち probability, 確率函数 f(x)は数 x_iのある可算集合内で正値を取り、それ以外で0を取ります。 この場合、分布函数は以下の通りです。

 
                       ====
                       \
                F(x) =  >    f(x )
                       /        i
                       ====
                      x <= x
                       i

平均、分散、標準偏差、歪度係数、尖度係数はそれぞれ以下の形を取ります。

 
                       ====
                       \
                E[X] =  >  x  f(x ) ,
                       /    i    i
                       ====
                        x
                         i
 
                ====
                \                     2
        V[X] =   >    f(x ) (x - E[X])  ,
                /        i    i
                ====
                 x
                  i
 
               D[X] = sqrt(V[X]),
 
                     ====
              1      \                     3
  SK[X] =  -------    >    f(x ) (x - E[X])
           D[X]^3    /        i    i
                     ====
                      x
                       i

and

 
                     ====
              1      \                     4
  KU[X] =  -------    >    f(x ) (x - E[X])   - 3 ,
           D[X]^4    /        i    i
                     ====
                      x
                       i

以下はパッケージ distribでの命名規則です。 すべての関数名は 2つの部分を持ちます。 一番目の部分は計算したい函数やパラメータへの参照となります。

 
Functions:
   Density function            (pdf_*)
   Distribution function       (cdf_*)
   Quantile                    (quantile_*)
   Mean                        (mean_*)
   Variance                    (var_*)
   Standard deviation          (std_*)
   Skewness coefficient        (skewness_*)
   Kurtosis coefficient        (kurtosis_*)
   Random variate              (random_*)

二番目の部分は確率モデルの明示的な参照になります。

 
Continuous distributions:
   Normal              (*normal)
   Student             (*student_t)
   Chi^2               (*chi2)
   Noncentral Chi^2    (*noncentral_chi2)
   F                   (*f)
   Exponential         (*exp)
   Lognormal           (*lognormal)
   Gamma               (*gamma)
   Beta                (*beta)
   Continuous uniform  (*continuous_uniform)
   Logistic            (*logistic)
   Pareto              (*pareto)
   Weibull             (*weibull)
   Rayleigh            (*rayleigh)
   Laplace             (*laplace)
   Cauchy              (*cauchy)
   Gumbel              (*gumbel)

Discrete distributions:
   Binomial             (*binomial)
   Poisson              (*poisson)
   Bernoulli            (*bernoulli)
   Geometric            (*geometric)
   Discrete uniform     (*discrete_uniform)
   hypergeometric       (*hypergeometric)
   Negative binomial    (*negative_binomial)
   Finite discrete      (*general_finite_discrete)

例えば pdf_student_t(x,n)はn個の自由度を持つStudent分布の密度函数で、 std_pareto(a,b)はパラメータ abを持つ Pareto分布の標準偏差であり、 kurtosis_poisson(m)は平均値 mを持つ Poisson分布の尖度係数です。

パッケージ distribを利用するには、始めに

 
(%i1) load("distrib")$

とタイプしてそれをロードする必要があります。

ご意見、バグ、提案は著者 'riotorto AT yahoo DOT com'に連絡ください。

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52.2 Functions and Variables for continuous distributions

関数: pdf_normal (x,m,s)

s>0Normal(m,s)(正規)確率変数の密度函数の xでの値を返します。 この関数を利用するには始めに load("distrib")と書いてください。

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関数: cdf_normal (x,m,s)

s>0Normal(m,s)(正規)確率変数の密度函数の xでの値を返します。 この関数は Maximaの組み込み誤差関数 erfを使って定義されます。

 
(%i1) load ("distrib")$
(%i2) cdf_normal(x,m,s);
                                    x - m
                              erf(---------)
                                  sqrt(2) s    1
(%o2)                         -------------- + -
                                    2          2

erfも参照してください。

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関数: quantile_normal (q,m,s)

s>0Normal(m,s)(正規)確率変数の q分位数を返します。 言い換えるとこれは cdf_normalの逆函数です。 引数 q[0,1]の要素でなければいけません。 この関数を利用するには始めに load("distrib")と書いてください。

 
(%i1) load ("distrib")$
(%i2) quantile_normal(95/100,0,1);
                                      9
(%o2)             sqrt(2) inverse_erf(--)
                                      10
(%i3) float(%);
(%o3)               1.644853626951472

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関数: mean_normal (m,s)

s>0Normal(m,s)(正規)確率変数の平均、すなわち mを返します。 この関数を利用するには、始めに load("distrib")を書いてください。

Categories:  Package distrib

関数: var_normal (m,s)

s>0Normal(m,s)(正規)確率変数の分散、すなわち s^2を返します。 この関数を利用するには始めに load("distrib")と書いてください。

Categories:  Package distrib

関数: std_normal (m,s)

s>0Normal(m,s)(正規)確率変数の分散、すなわち sを返します。 この関数を利用するには始めに load("distrib")と書いてください。

Categories:  Package distrib

関数: skewness_normal (m,s)

s>0Normal(m,s)(正規)確率変数の歪度を返します。それは常に 0に等しいです。 この関数を利用するには始めに load("distrib")と書いてください。

Categories:  Package distrib

関数: kurtosis_normal (m,s)

s>0Normal(m,s)(正規)確率変数の尖度を返します。それは常に 0に等しいです。 この関数を利用するには始めに load("distrib")と書いてください。

Categories:  Package distrib

関数: random_normal (m,s)  
    random_normal (m,s,n)

s>0Normal(m,s)(正規)確率変量を返します。 三番目の引数 nとともにrandom_normalをコールすると、サイズ nのランダムな標本がシミュレートされます。

これは Box-Muellerアルゴリズムの実装です。 Knuth, D.E. (1981) Seminumerical Algorithms. The Art of Computer Programming. Addison-Wesleyに記載されています。

この関数を利用するには始めに load("distrib")と書いてください。

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関数: pdf_student_t (x,n)

n>0自由度のStudent確率変数 t(n)の密度函数の xでの値を返します。 この関数を利用するには始めに load("distrib")と書いてください。

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関数: cdf_student_t (x,n)

n>0自由度の Student確率変数 t(n)の分布函数の xでの値を返します。

 
(%i1) load ("distrib")$
(%i2) cdf_student_t(1/2, 7/3);
                                         7  1  28
             beta_incomplete_regularized(-, -, --)
                                         6  2  31
(%o2)    1 - -------------------------------------
                               2
(%i3) float(%);
(%o3)                .6698450596140415

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関数: quantile_student_t (q,n)

n>0自由度の Student確率変数 t(n)q-分位数を返します。 言い換えるとこれは cdf_student_tの逆函数です。 引数 q[0,1]の要素でなければいけません。 この関数を利用するには始めに load("distrib")と書いてください。

Categories:  Package distrib

関数: mean_student_t (n)

n>0自由度の Student確率変数 t(n)の平均を返します。 それはいつも0に等しいです。 この関数を利用するには始めに load("distrib")と書いてください。

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関数: var_student_t (n)

n>2自由度の Student確率変数 t(n)の分散を返します。

 
(%i1) load ("distrib")$
(%i2) assume(n>2)$  var_student_t(n);
                                n
(%o3)                         -----
                              n - 2

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関数: std_student_t (n)

n>2自由度の Student確率変数 t(n)の標準偏差を返します。 この関数を利用するには始めに load("distrib")と書いてください。

Categories:  Package distrib

関数: skewness_student_t (n)

n>3自由度の Student確率変数 t(n)の歪度係数を返します。 それはいつも 0に等しいです。 この関数を利用するには始めに load("distrib")と書いてください。

Categories:  Package distrib

関数: kurtosis_student_t (n)

n>4自由度の Student確率変数 t(n)の尖度係数を返します。 この関数を利用するには始めに load("distrib")と書いてください。

Categories:  Package distrib

関数: random_student_t (n)  
    random_student_t (n,m)

n>0自由度の Student確率変量 t(n)を返します。 三番目の引数 mとともに random_student_tをコールすると、 サイズ mのランダムな標本がシミュレートされます。

実装アルゴリズムは、 もし Zが正規確率変数 N(0,1)で、 S^2n自由度のカイ二乗確率変数 Chi^2(n)なら、

 
                           Z
                 X = -------------
                     /   2  \ 1/2
                     |  S   |
                     | ---  |
                     \  n   /

n自由度の Student確率変数 t(n)であるという事実に基づいています。

この関数を利用するには始めに load("distrib")と書いてください。

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関数: pdf_noncentral_student_t (x,n,ncp)

n>0自由度で非中心度パラメータ ncpを持つ 非中心 Student確率変数 nc_t(n,ncp)の密度函数のxでの値を返します。 この関数を利用するには始めに load("distrib")と書いてください。

時々、最終結果を得るために余分な仕事が必要となります。

 
(%i1) load ("distrib")$
(%i2) expand(pdf_noncentral_student_t(3,5,0.1));
                           7/2                         7/2
      0.04296414417400905 5      1.323650307289301e-6 5
(%o2) ------------------------ + -------------------------
         3/2   5/2                       sqrt(%pi)
        2    14    sqrt(%pi)
                                                        7/2
                                   1.94793720435093e-4 5
                                 + ------------------------
                                             %pi
(%i3) float(%);
(%o3)          .02080593159405669

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関数: cdf_noncentral_student_t (x,n,ncp)

n>0自由度で非中心度パラメータ ncpを持つ 非中心Student確率変数 nc_t(n,ncp)の分布函数のxでの値を返します。 この函数は閉形式を持たず、数値的に計算されます。

 
(%i1) load ("distrib")$
(%i2) cdf_noncentral_student_t(-2,5,-5);
(%o2)          .9952030093319743

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関数: quantile_noncentral_student_t (q,n,ncp)

n>0自由度で非中心度パラメータ ncpを持つ 非中心Student確率変数 nc_t(n,ncp)q-分位数を返します。 言い換えると、これは cdf_noncentral_student_tの逆函数です。 引数 q[0,1]の要素でなければいけません。 この関数を利用するには始めに load("distrib")と書いてください。

Categories:  Package distrib

関数: mean_noncentral_student_t (n,ncp)

n>0自由度で非中心度パラメータ ncpを持つ 非中心Student確率変数 nc_t(n,ncp)の平均を返します。 この関数を利用するには始めに load("distrib")と書いてください。

 
(%i1) load ("distrib")$
(%i2) mean_noncentral_student_t(df,k);
                   df - 1
             gamma(------) sqrt(df) k
                     2
(%o2)        ------------------------
                              df
                sqrt(2) gamma(--)
                              2

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関数: var_noncentral_student_t (n,ncp)

n>2自由度で非中心度パラメータ ncpを持つ 非中心Student確率変数 nc_t(n,ncp)の分散を返します。 この関数を利用するには始めに load("distrib")と書いてください。

Categories:  Package distrib

関数: std_noncentral_student_t (n,ncp)

n>2自由度で非中心度パラメータ ncpを持つ 非中心Student確率変数 nc_t(n,ncp)の標準偏差を返します。 この関数を利用するには始めに load("distrib")と書いてください。

Categories:  Package distrib

関数: skewness_noncentral_student_t (n,ncp)

n>3自由度で非中心度パラメータ ncpを持つ 非中心Student確率変数 nc_t(n,ncp)の歪度係数を返します。 この関数を利用するには始めに load("distrib")と書いてください。

Categories:  Package distrib

関数: kurtosis_noncentral_student_t (n,ncp)

n>3自由度で非中心度パラメータ ncpを持つ 非中心Student確率変数 nc_t(n,ncp)の尖度係数を返します。 この関数を利用するには始めに load("distrib")と書いてください。

Categories:  Package distrib

関数: random_noncentral_student_t (n,ncp)  
    random_noncentral_student_t (n,ncp,m)

n>0自由度で非中心度パラメータ ncpを持つ 非中心Student確率変量 nc_t(n,ncp)を返します。 三番目の引数 mとともにrandom_noncentral_student_tをコールすると、 サイズ mのランダムな標本がシミュレートされます。

もし Xが正規確率変数 N(ncp,1)で、 S^2n自由度のカイ二乗確率変数 Chi^2(n)なら、

 
                           X
                 U = -------------
                     /   2  \ 1/2
                     |  S   |
                     | ---  |
                     \  n   /

n自由度で非中心度パラメータ ncpを持つ 非中心Student確率変数 nc_t(n,ncp)であるという事実に基づいています。

この関数を利用するには始めに load("distrib")と書いてください。

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関数: pdf_chi2 (x,n)

n>0でカイ二乗確率変数 Chi^2(n)の密度函数の xでの値を返します。

Chi^2(n)確率変数は Gamma(n/2,2)と同値です。

 
(%i1) load ("distrib")$
(%i2) pdf_chi2(x,n);
                         n/2 - 1   - x/2
                        x        %e
(%o2)                   ----------------
                          n/2       n
                         2    gamma(-)
                                    2

Categories:  Package distrib

関数: cdf_chi2 (x,n)

n>0で、カイ二乗確率変数 Chi^2(n)の分布函数の xでの値を返します。

 
(%i1) load ("distrib")$
(%i2) cdf_chi2(3,4);
                                               3
(%o2)      1 - gamma_incomplete_regularized(2, -)
                                               2
(%i3) float(%);
(%o3)               .4421745996289256

Categories:  Package distrib

関数: quantile_chi2 (q,n)

n>0で、カイ二乗確率変数 Chi^2(n)q-分位数を返します; 言い換えると、これは cdf_chi2の逆函数です。 引数 q[0,1]の要素でなければいけません。

この函数は閉形式を持たず、数値的に計算されます。

 
(%i1) load ("distrib")$
(%i2) quantile_chi2(0.99,9);
(%o2)                   21.66599433346194

Categories:  Package distrib

関数: mean_chi2 (n)

n>0で、カイ二乗確率変数 Chi^2(n)の平均を返します。

Chi^2(n)確率変数は Gamma(n/2,2)に同値です。

 
(%i1) load ("distrib")$
(%i2) mean_chi2(n);
(%o2)                           n

Categories:  Package distrib

関数: var_chi2 (n)

n>0で、カイ二乗確率変数 Chi^2(n)の分散を返します。

Chi^2(n)確率変数は Gamma(n/2,2)に同値です。

 
(%i1) load ("distrib")$
(%i2) var_chi2(n);
(%o2)                          2 n

Categories:  Package distrib

関数: std_chi2 (n)

n>0で、カイ二乗確率変数 Chi^2(n)の標準偏差を返します。

Chi^2(n)確率変数は Gamma(n/2,2)です。

 
(%i1) load ("distrib")$
(%i2) std_chi2(n);
(%o2)                    sqrt(2) sqrt(n)

Categories:  Package distrib

関数: skewness_chi2 (n)

n>0で、カイ二乗確率変数 Chi^2(n)の歪度係数を返します。

Chi^2(n)確率変数は Gamma(n/2,2)です。

 
(%i1) load ("distrib")$
(%i2) skewness_chi2(n);
                                     3/2
                                    2
(%o2)                              -------
                                   sqrt(n)

Categories:  Package distrib

関数: kurtosis_chi2 (n)

n>0で、カイ二乗確率変数 Chi^2(n)の尖度係数を返します。

Chi^2(n)確率変数は Gamma(n/2,2)です。

 
(%i1) load ("distrib")$
(%i2) kurtosis_chi2(n);
                               12
(%o2)                          --
                               n

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関数: random_chi2 (n)  
    random_chi2 (n,m)

n>0で、カイ二乗確率変量 Chi^2(n)を返します。 二番目の引数 mとともにrandom_chi2をコールすると、 サイズ mのランダムな標本がシミュレートされます。

シミュレーションはAhrens-Chengアルゴリズムに基づきます。 詳細はrandom_gammaを参照してください。

この関数を利用するには始めに load("distrib")と書いてください。

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関数: pdf_noncentral_chi2 (x,n,ncp)

n>0と非中心度パラメータ ncp>=0を持つ 非中心カイ二乗確率変数 nc_Chi^2(n,ncp)の 密度函数の xでの値を返します。

この関数を利用するには始めに load("distrib")と書いてください。

Categories:  Package distrib

関数: cdf_noncentral_chi2 (x,n,ncp)

n>0と非中心度パラメータ ncp>=0を持つ 非中心カイ二乗確率変数 nc_Chi^2(n,ncp)の 分布函数の xでの値を返します。 この関数を利用するには始めに load("distrib")と書いてください。

Categories:  Package distrib

関数: quantile_noncentral_chi2 (q,n,ncp)

n>0と非中心度パラメータ ncp>=0を持つ 非中心カイ二乗確率変数 nc_Chi^2(n,ncp)q-分位数を返します; 言い換えると、これは cdf_noncentral_chi2の逆函数です。 引数 q[0,1]の要素でなければいけません。

この関数は閉形式を持たず、数値的に計算されます。

Categories:  Package distrib

関数: mean_noncentral_chi2 (n,ncp)

n>0と非中心度パラメータ ncp>=0を持つ 非中心カイ二乗確率変数 nc_Chi^2(n,ncp)の 平均を返します。

Categories:  Package distrib

関数: var_noncentral_chi2 (n,ncp)

n>0と非中心度パラメータ ncp>=0を持つ 非中心カイ二乗確率変数 nc_Chi^2(n,ncp)の 分散を返します。

Categories:  Package distrib

関数: std_noncentral_chi2 (n,ncp)

n>0と非中心度パラメータ ncp>=0を持つ 非中心カイ二乗確率変数 nc_Chi^2(n,ncp)の 標準偏差を返します。

Categories:  Package distrib

関数: skewness_noncentral_chi2 (n,ncp)

n>0と非中心度パラメータ ncp>=0を持つ 非中心カイ二乗確率変数 nc_Chi^2(n,ncp)の 歪度係数を返します。

Categories:  Package distrib

関数: kurtosis_noncentral_chi2 (n,ncp)

n>0と非中心度パラメータ ncp>=0を持つ 非中心カイ二乗確率変数 nc_Chi^2(n,ncp)の 尖度係数を返します。

Categories:  Package distrib

関数: random_noncentral_chi2 (n,ncp)  
    random_noncentral_chi2 (n,ncp,m)

n>0と非中心度パラメータ ncp>=0を持つ 非中心カイ二乗確率変量 nc_Chi^2(n,ncp)を返します。 三番目の引数 mとともに random_noncentral_chi2をコールすると、 サイズ mのランダムな標本がシミュレートされます。

この関数を利用するには始めに load("distrib")と書いてください。

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関数: pdf_f (x,m,n)

m,n>0で、 F確率変数 F(m,n)の密度関数の xの値を返します。

この関数を利用するには始めに load("distrib")と書いてください。

Categories:  Package distrib

関数: cdf_f (x,m,n)

m,n>0で、 F確率変数 F(m,n)の分布関数の xの値を返します。

 
(%i1) load ("distrib")$
(%i2) cdf_f(2,3,9/4);
                                         9  3  3
(%o2)    1 - beta_incomplete_regularized(-, -, --)
                                         8  2  11
(%i3) float(%);
(%o3)                 0.66756728179008

Categories:  Package distrib

関数: quantile_f (q,m,n)

m,n>0で、 F確率変数 F(m,n)q-分位数を返します; 言い換えるとこれは cdf_fの逆函数です。 引数 q[0,1]の要素でなければいけません。

 
(%i1) load ("distrib")$
(%i2) quantile_f(2/5,sqrt(3),5);
(%o2)                   0.518947838573693

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関数: mean_f (m,n)

m,n>2で、 F確率変数 F(m,n)の平均を返します。 この関数を利用するには始めに load("distrib")と書いてください。

Categories:  Package distrib

関数: var_f (m,n)

m,n>4で、 F確率変数 F(m,n)の分散を返します。 この関数を利用するには始めに load("distrib")と書いてください。

Categories:  Package distrib

関数: std_f (m,n)

m,n>4で、 F確率変数 F(m,n)の標準偏差を返します。 この関数を利用するには始めに load("distrib")と書いてください。

Categories:  Package distrib

関数: skewness_f (m,n)

m,n>6で、 F確率変数 F(m,n)の歪度係数を返します。 この関数を利用するには始めに load("distrib")と書いてください。

Categories:  Package distrib

関数: kurtosis_f (m,n)

m,n>8で、 F確率変数 F(m,n)の尖度係数を返します。 この関数を利用するには始めに load("distrib")と書いてください。

Categories:  Package distrib

関数: random_f (m,n)  
    random_f (m,n,k)

m,n>8で、 F確率変量 F(m,n)を返します。 三番目の引数 kとともに random_fをコールすると、 サイズ kのランダムな標本がシミュレートされます。

シミュレーションアルゴリズムは、もし XChi^2(m)確率変数で YChi^2(n)確率変数なら

 
                        n X
                    F = ---
                        m Y

mn自由度を持つ F確率変数 F(m,n)である という事実に基づいています。

この関数を利用するには始めに load("distrib")と書いてください。

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関数: pdf_exp (x,m)

m>0で、 Exponential(m)(指数)確率変数の密度函数の xでの値を返します。

Exponential(m)(指数)確率変数は Weibull(1,1/m)と同値です。

 
(%i1) load ("distrib")$
(%i2) pdf_exp(x,m);
                                - m x
(%o2)                       m %e

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関数: cdf_exp (x,m)

m>0で、 Exponential(m)(指数)確率変数の分布函数の xでの値を返します。

Exponential(m)(指数)確率変数は Weibull(1,1/m)と同値です。

 
(%i1) load ("distrib")$
(%i2) cdf_exp(x,m);
                                 - m x
(%o2)                      1 - %e

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関数: quantile_exp (q,m)

m>0で、 Exponential(m)(指数)確率変数の q-分位数を返します; 言い換えるとこれはcdf_expの逆函数です。 引数 q[0,1]の要素でなければいけません。

Exponential(m)(指数)確率変数は Weibull(1,1/m)と同値です。

 
(%i1) load ("distrib")$
(%i2) quantile_exp(0.56,5);
(%o2)                   .1641961104139661
(%i3) quantile_exp(0.56,m);
                             0.8209805520698303
(%o3)                        ------------------
                                     m

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関数: mean_exp (m)

m>0で、 Exponential(m)(指数)確率変数の平均を返します。

Exponential(m)(指数)確率変数は Weibull(1,1/m)と同値です。

 
(%i1) load ("distrib")$
(%i2) mean_exp(m);
                                1
(%o2)                           -
                                m

Categories:  Package distrib

関数: var_exp (m)

m>0で、 Exponential(m)(指数)確率変数の分散を返します。

Exponential(m)(指数)確率変数は Weibull(1,1/m)と同値です。

 
(%i1) load ("distrib")$
(%i2) var_exp(m);
                               1
(%o2)                          --
                                2
                               m

Categories:  Package distrib

関数: std_exp (m)

m>0で、 Exponential(m)(指数)確率変数の標準偏差を返します。

Exponential(m)(指数)確率変数は Weibull(1,1/m)と同値です。

 
(%i1) load ("distrib")$
(%i2) std_exp(m);
                                1
(%o2)                           -
                                m

Categories:  Package distrib

関数: skewness_exp (m)

m>0で、 Exponential(m)(指数)確率変数の歪度係数を返します。

Exponential(m)(指数)確率変数は Weibull(1,1/m)と同値です。

 
(%i1) load ("distrib")$
(%i2) skewness_exp(m);
(%o2)                           2

Categories:  Package distrib

関数: kurtosis_exp (m)

m>0で、 Exponential(m)(指数)確率変数の尖度係数を返します。

Exponential(m)(指数)確率変数は Weibull(1,1/m)と同値です。

 
(%i1) load ("distrib")$
(%i2) kurtosis_exp(m);
(%o3)                           6

Categories:  Package distrib

関数: random_exp (m)  
    random_exp (m,k)

m>0で、 Exponential(m)(指数)確率変量を返します。 二番目の引数 kとともに random_expをコールすると、 サイズ kのランダムな標本がシミュレートされます。

シミュレーションアルゴリズムは一般逆函数法です。

この関数を利用するには始めに load("distrib")と書いてください。

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関数: pdf_lognormal (x,m,s)

s>0で、 Lognormal(m,s)(対数正規)確率変数の密度函数の xでの値を返します。

この関数を利用するには始めに load("distrib")と書いてください。

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関数: cdf_lognormal (x,m,s)

s>0で、 Lognormal(m,s)(対数正規)確率変数の分布函数の xでの値を返します。 この関数は Maximaの組み込み誤差関数 erfを使って定義されます。

 
(%i1) load ("distrib")$
(%i2) cdf_lognormal(x,m,s);
                           log(x) - m
                       erf(----------)
                           sqrt(2) s     1
(%o2)                  --------------- + -
                              2          2

erfも参照してください。

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関数: quantile_lognormal (q,m,s)

s>0で、 Lognormal(m,s)(対数正規)確率変数の q-分位数を返します; 言い換えるとこれは cdf_lognormalの逆函数です。 引数 q[0,1]の要素でなければいけません。 この関数を利用するには始めに load("distrib")と書いてください。

 
(%i1) load ("distrib")$
(%i2) quantile_lognormal(95/100,0,1);
                  sqrt(2) inverse_erf(9/10)
(%o2)           %e
(%i3) float(%);
(%o3)               5.180251602233015

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関数: mean_lognormal (m,s)

s>0で、 Lognormal(m,s)(対数正規)確率変数の平均を返します。 この関数を利用するには始めに load("distrib")と書いてください。

Categories:  Package distrib

関数: var_lognormal (m,s)

s>0で、 Lognormal(m,s)(対数正規)確率変数の分散を返します。 この関数を利用するには始めに load("distrib")と書いてください。

Categories:  Package distrib

関数: std_lognormal (m,s)

s>0で、 Lognormal(m,s)(対数正規)確率変数の標準偏差を返します。 この関数を利用するには始めに load("distrib")と書いてください。

Categories:  Package distrib

関数: skewness_lognormal (m,s)

s>0で、 Lognormal(m,s)(対数正規)確率変数の歪度係数を返します。 この関数を利用するには始めに load("distrib")と書いてください。

Categories:  Package distrib

関数: kurtosis_lognormal (m,s)

s>0で、 Lognormal(m,s)(対数正規)確率変数の尖度係数を返します。 この関数を利用するには始めに load("distrib")と書いてください。

Categories:  Package distrib

関数: random_lognormal (m,s)  
    random_lognormal (m,s,n)

s>0で、 Lognormal(m,s)(対数正規)確率変量を返します。 三番目の引数 nとともにrandom_lognormalをコールすると、 サイズ nのランダムな標本がシミュレートされます。

対数世紀変量は確率正規変量の平均によってシミュレートされます。 詳細は random_normalを見てください。

この関数を利用するには始めに load("distrib")と書いてください。

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関数: pdf_gamma (x,a,b)

a,b>0で、 Gamma(a,b)確率変数の密度函数の xでの値を返します。 この関数を利用するには始めに load("distrib")と書いてください。

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関数: cdf_gamma (x,a,b)

a,b>0で、 Gamma(a,b)確率変数の分布函数の xでの値を返します。

 
(%i1) load ("distrib")$
(%i2) cdf_gamma(3,5,21);
                                              1
(%o2)     1 - gamma_incomplete_regularized(5, -)
                                              7
(%i3) float(%);
(%o3)              4.402663157376807E-7

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関数: quantile_gamma (q,a,b)

a,b>0で、 Gamma(a,b)確率変数の p-分位数を返します; 言い換えればこれは cdf_gammaの逆函数です。 引数 q[0,1]の要素でなければいけません。 この関数を利用するには始めに load("distrib")と書いてください。

Categories:  Package distrib

関数: mean_gamma (a,b)

a,b>0で、 Gamma(a,b)確率変数の平均を返します。 この関数を利用するには始めに load("distrib")と書いてください。

Categories:  Package distrib

関数: var_gamma (a,b)

a,b>0で、 Gamma(a,b)確率変数の分散を返します。 この関数を利用するには始めに load("distrib")と書いてください。

Categories:  Package distrib

関数: std_gamma (a,b)

a,b>0で、 Gamma(a,b)確率変数の標準偏差を返します。 この関数を利用するには始めに load("distrib")と書いてください。

Categories:  Package distrib

関数: skewness_gamma (a,b)

a,b>0で、 Gamma(a,b)確率変数の歪度係数を返します。 この関数を利用するには始めに load("distrib")と書いてください。

Categories:  Package distrib

関数: kurtosis_gamma (a,b)

a,b>0で、 Gamma(a,b)確率変数の尖度係数を返します。 この関数を利用するには始めに load("distrib")と書いてください。

Categories:  Package distrib

関数: random_gamma (a,b)  
    random_gamma (a,b,n)

a,b>0で、 Gamma(a,b)確率変量を返します。 三番目の引数 nとともに random_gammaをコールすると、 サイズ nのランダムな標本がシミュレートされます。

実装アルゴリズムはパラメータ aの値に依存して、2つの手続きの組み合わせです:

a>=1に対して, Cheng, R.C.H. and Feast, G.M. (1979). Some simple gamma variate generators. Appl. Stat., 28, 3, 290-295.

0<a<1に対して, Ahrens, J.H. and Dieter, U. (1974). Computer methods for sampling from gamma, beta, poisson and binomial cdf_tributions. Computing, 12, 223-246.

この関数を利用するには始めに load("distrib")と書いてください。

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関数: pdf_beta (x,a,b)

a,b>0で、 Beta(a,b)確率変数の密度函数の xでの値を返します。 この関数を利用するには始めに load("distrib")と書いてください。

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関数: cdf_beta (x,a,b)

a,b>0で、 Beta(a,b)確率変数の分布函数の xでの値を返します。

 
(%i1) load ("distrib")$
(%i2) cdf_beta(1/3,15,2);
                             11
(%o2)                     --------
                          14348907
(%i3) float(%);
(%o3)              7.666089131388195E-7

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関数: quantile_beta (q,a,b)

a,b>0で、 Beta(a,b)確率変数の q-分位数を返します; 言い換えるとこれは cdf_betaの逆函数です。 引数 q[0,1]の要素でなければいけません。 この関数を利用するには始めに load("distrib")と書いてください。

Categories:  Package distrib

関数: mean_beta (a,b)

a,b>0で、 Beta(a,b)確率変数の平均を返します。 この関数を利用するには始めに load("distrib")と書いてください。

Categories:  Package distrib

関数: var_beta (a,b)

a,b>0で、 Beta(a,b)確率変数の分散を返します。 この関数を利用するには始めに load("distrib")と書いてください。

Categories:  Package distrib

関数: std_beta (a,b)

a,b>0で、 Beta(a,b)確率変数の標準偏差を返します。 この関数を利用するには始めに load("distrib")と書いてください。

Categories:  Package distrib

関数: skewness_beta (a,b)

a,b>0で、 Beta(a,b)確率変数の歪度係数を返します。 この関数を利用するには始めに load("distrib")と書いてください。

Categories:  Package distrib

関数: kurtosis_beta (a,b)

a,b>0で、 Beta(a,b)確率変数の尖度係数を返します。 この関数を利用するには始めに load("distrib")と書いてください。

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関数: random_beta (a,b)  
    random_beta (a,b,n)

a,b>0で、 Beta(a,b)確率変量を返します。 三番目の引数 nとともに random_gammaをコールすると、 サイズ nのランダムな標本がシミュレートされます。

実装アルゴリズムは Cheng, R.C.H. (1978). Generating Beta Variates with Nonintegral Shape Parameters. Communications of the ACM, 21:317-322 に定義されています。

この関数を利用するには始めに load("distrib")と書いてください。

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関数: pdf_continuous_uniform (x,a,b)

a<bで、 Continuous Uniform(a,b)確率変数の密度函数の xでの値を返します。 この関数を利用するには始めに load("distrib")と書いてください。

Categories:  Package distrib

関数: cdf_continuous_uniform (x,a,b)

a<bで、 Continuous Uniform(a,b)確率変数の分布函数の xでの値を返します。 この関数を利用するには始めに load("distrib")と書いてください。

Categories:  Package distrib

関数: quantile_continuous_uniform (q,a,b)

a<bで、 Continuous Uniform(a,b)確率変数の分布函数の q-分位数を返します。 言い換えるとこれは cdf_continuous_uniformの逆函数です。 引数 q[0,1]の要素でなければいけません。 この関数を利用するには始めに load("distrib")と書いてください。

Categories:  Package distrib

関数: mean_continuous_uniform (a,b)

a<bで、 Continuous Uniform(a,b)確率変数の分布函数の 平均を返します。 この関数を利用するには始めに load("distrib")と書いてください。

Categories:  Package distrib

関数: var_continuous_uniform (a,b)

a<bで、 Continuous Uniform(a,b)確率変数の分布函数の 分散を返します。 この関数を利用するには始めに load("distrib")と書いてください。

Categories:  Package distrib

関数: std_continuous_uniform (a,b)

a<bで、 Continuous Uniform(a,b)確率変数の分布函数の標準偏差を返します。 この関数を利用するには始めに load("distrib")と書いてください。

Categories:  Package distrib

関数: skewness_continuous_uniform (a,b)

a<bで、 Continuous Uniform(a,b)確率変数の分布函数の歪度係数を返します。 この関数を利用するには始めに load("distrib")と書いてください。

Categories:  Package distrib

関数: kurtosis_continuous_uniform (a,b)

a<bで、 Continuous Uniform(a,b)確率変数の分布函数の尖度係数を返します。 この関数を利用するには始めに load("distrib")と書いてください。

Categories:  Package distrib

関数: random_continuous_uniform (a,b)  
    random_continuous_uniform (a,b,n)

a<bで、 Continuous Uniform(a,b)確率変量を返します。 三番目の引数 nとともに random_gammaをコールすると、 サイズ nのランダムな標本がシミュレートされます。

これは random組み込みMaxima関数の直接の応用です。

randomも参照してください。 この関数を利用するには始めに load("distrib")と書いてください。

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関数: pdf_logistic (x,a,b)

b>0で、 Logistic(a,b)確率変数の密度函数の xでの値を返します。 この関数を利用するには始めに load("distrib")と書いてください。

Categories:  Package distrib

関数: cdf_logistic (x,a,b)

b>0で、 Logistic(a,b)確率変数の分布函数の xでの値を返します。 この関数を利用するには始めに load("distrib")と書いてください。

Categories:  Package distrib

関数: quantile_logistic (q,a,b)

b>0で、 Logistic(a,b)確率変数の q-分位数を返します。 言い換えると、これは cdf_logisticの逆函数です。 引数 q[0,1]の要素でなければいけません。 この関数を利用するには始めに load("distrib")と書いてください。

Categories:  Package distrib

関数: mean_logistic (a,b)

b>0で、 Logistic(a,b)確率変数の平均を返します。 この関数を利用するには始めに load("distrib")と書いてください。

Categories:  Package distrib

関数: var_logistic (a,b)

b>0で、 Logistic(a,b)確率変数の分散を返します。 この関数を利用するには始めに load("distrib")と書いてください。

Categories:  Package distrib

関数: std_logistic (a,b)

b>0で、 Logistic(a,b)確率変数の標準偏差を返します。 この関数を利用するには始めに load("distrib")と書いてください。

Categories:  Package distrib

関数: skewness_logistic (a,b)

b>0で、 Logistic(a,b)確率変数の歪度係数を返します。 この関数を利用するには始めに load("distrib")と書いてください。

Categories:  Package distrib

関数: kurtosis_logistic (a,b)

b>0で、 Logistic(a,b)確率変数の尖度係数を返します。 この関数を利用するには始めに load("distrib")と書いてください。

Categories:  Package distrib

関数: random_logistic (a,b)  
    random_logistic (a,b,n)

b>0で、 Logistic(a,b)確率変量を返します。 三番目の引数 nとともに random_logisticをコールすると、 サイズ nのランダムな標本がシミュレートされます。

実装アルゴリズムは一般逆函数法に基づいています。

この関数を利用するには始めに load("distrib")と書いてください。

Categories:  Package distrib · Random numbers

関数: pdf_pareto (x,a,b)

a,b>0で、 Pareto(a,b)確率変数の密度函数の xの値を返します。

この関数を利用するには始めに load("distrib")と書いてください。

Categories:  Package distrib

関数: cdf_pareto (x,a,b)

a,b>0で、 Pareto(a,b)確率変数の分布函数の xの値を返します。

この関数を利用するには始めに load("distrib")と書いてください。

Categories:  Package distrib

関数: quantile_pareto (q,a,b)

a,b>0で、 Pareto(a,b)確率変数の q-分位数を返します; 言い換えると、これは cdf_paretoの逆函数です。 引数 q[0,1]の要素でなければいけません。 この関数を利用するには始めに load("distrib")と書いてください。

Categories:  Package distrib

関数: mean_pareto (a,b)

a,b>0で、 Pareto(a,b)確率変数の平均を返します。 この関数を利用するには始めに load("distrib")と書いてください。

Categories:  Package distrib

関数: var_pareto (a,b)

a>2,b>0で、 Pareto(a,b)確率変数の分散を返します。 この関数を利用するには始めに load("distrib")と書いてください。

Categories:  Package distrib

関数: std_pareto (a,b)

a>2,b>0で、 Pareto(a,b)確率変数の標準偏差を返します。 この関数を利用するには始めに load("distrib")と書いてください。

Categories:  Package distrib

関数: skewness_pareto (a,b)

a>2,b>0で、 Pareto(a,b)確率変数の歪度係数を返します。 この関数を利用するには始めに load("distrib")と書いてください。

Categories:  Package distrib

関数: kurtosis_pareto (a,b)

a>2,b>0で、 Pareto(a,b)確率変数の尖度係数を返します。 この関数を利用するには始めに load("distrib")と書いてください。

Categories:  Package distrib

関数: random_pareto (a,b)  
    random_pareto (a,b,n)

a>2,b>0で、 Pareto(a,b)確率変量を返します。 三番目の引数 nとともに random_paretoをコールすると、 サイズ nのランダムな標本がシミュレートされます。

実装アルゴリズムは一般逆函数法に基づいています。

この関数を利用するには始めに load("distrib")と書いてください。

Categories:  Package distrib · Random numbers

関数: pdf_weibull (x,a,b)

a,b>0で、 Weibull(a,b)確率変数の密度函数の xの値を返します。

この関数を利用するには始めに load("distrib")と書いてください。

Categories:  Package distrib

関数: cdf_weibull (x,a,b)

a,b>0で、 Weibull(a,b)確率変数の分布函数の xの値を返します。 この関数を利用するには始めに load("distrib")と書いてください。

Categories:  Package distrib

関数: quantile_weibull (q,a,b)

a,b>0で、 Weibull(a,b)確率変数の q-分位数を返します; 言い換えれば、これは cdf_weibullの逆函数です。 引数 q[0,1]の要素でなければいけません。 この関数を利用するには始めに load("distrib")と書いてください。

Categories:  Package distrib

関数: mean_weibull (a,b)

a,b>0で、 Weibull(a,b)確率変数の平均を返します。 この関数を利用するには始めに load("distrib")と書いてください。

Categories:  Package distrib

関数: var_weibull (a,b)

a,b>0で、 Weibull(a,b)確率変数の分散を返します。 この関数を利用するには始めに load("distrib")と書いてください。

Categories:  Package distrib

関数: std_weibull (a,b)

a,b>0で、 Weibull(a,b)確率変数の標準偏差を返します。 この関数を利用するには始めに load("distrib")と書いてください。

Categories:  Package distrib

関数: skewness_weibull (a,b)

a,b>0で、 Weibull(a,b)確率変数の歪度係数を返します。 この関数を利用するには始めに load("distrib")と書いてください。

Categories:  Package distrib

関数: kurtosis_weibull (a,b)

a,b>0で、 Weibull(a,b)確率変数の尖度係数を返します。 この関数を利用するには始めに load("distrib")と書いてください。

Categories:  Package distrib

関数: random_weibull (a,b)  
    random_weibull (a,b,n)

a,b>0で、 Weibull(a,b)確率変量を返します。

実装アルゴリズムは一般逆函数法に基づいています。

この関数を利用するには始めに load("distrib")と書いてください。

Categories:  Package distrib · Random numbers

関数: pdf_rayleigh (x,b)

b>0で、 Rayleigh(b)確率変数の密度函数の xでの値を返します。

Rayleigh(b)確率変数は Weibull(2,1/b)と同値です。

 
(%i1) load ("distrib")$
(%i2) pdf_rayleigh(x,b);
                                    2  2
                           2     - b  x
(%o2)                   2 b  x %e

Categories:  Package distrib

関数: cdf_rayleigh (x,b)

b>0で、 Rayleigh(b)確率変数の分布函数の xでの値を返します。

Rayleigh(b)確率変数は Weibull(2,1/b)と同値です。

 
(%i1) load ("distrib")$
(%i2) cdf_rayleigh(x,b);
                                   2  2
                                - b  x
(%o2)                     1 - %e

Categories:  Package distrib

関数: quantile_rayleigh (q,b)

b>0で、 Rayleigh(b)確率変数の q-分位数を返します; 言い換えれば、これは cdf_rayleighの逆函数です。 引数 q[0,1]の要素でなければいけません。

Rayleigh(b)確率変数は Weibull(2,1/b)と同値です。

 
(%i1) load ("distrib")$
(%i2) quantile_rayleigh(0.99,b);
                        2.145966026289347
(%o2)                   -----------------
                                b

Categories:  Package distrib

関数: mean_rayleigh (b)

b>0で、 Rayleigh(b)確率変数の 平均を返します;

Rayleigh(b)確率変数は Weibull(2,1/b)と同値です。

 
(%i1) load ("distrib")$
(%i2) mean_rayleigh(b);
                            sqrt(%pi)
(%o2)                       ---------
                               2 b

Categories:  Package distrib

関数: var_rayleigh (b)

b>0で、 Rayleigh(b)確率変数の分散を返します。

Rayleigh(b)確率変数は Weibull(2,1/b)と同値です。

 
(%i1) load ("distrib")$
(%i2) var_rayleigh(b);
                                 %pi
                             1 - ---
                                  4
(%o2)                        -------
                                2
                               b

Categories:  Package distrib

関数: std_rayleigh (b)

b>0で、 Rayleigh(b)確率変数の標準偏差を返します。

Rayleigh(b)確率変数は Weibull(2,1/b)と同値です。

 
(%i1) load ("distrib")$
(%i2) std_rayleigh(b);
                                   %pi
                          sqrt(1 - ---)
                                    4
(%o2)                     -------------
                                b

Categories:  Package distrib

関数: skewness_rayleigh (b)

b>0で、 Rayleigh(b)確率変数の歪度係数を返します。

Rayleigh(b)確率変数は Weibull(2,1/b)と同値です。

 
(%i1) load ("distrib")$
(%i2) skewness_rayleigh(b);
                         3/2
                      %pi      3 sqrt(%pi)
                      ------ - -----------
                        4           4
(%o2)                 --------------------
                               %pi 3/2
                          (1 - ---)
                                4

Categories:  Package distrib

関数: kurtosis_rayleigh (b)

b>0で、 Rayleigh(b)確率変数の尖度係数を返します。

Rayleigh(b)確率変数は Weibull(2,1/b)と同値です。

 
(%i1) load ("distrib")$
(%i2) kurtosis_rayleigh(b);
                                  2
                             3 %pi
                         2 - ------
                               16
(%o2)                    ---------- - 3
                              %pi 2
                         (1 - ---)
                               4

Categories:  Package distrib

関数: random_rayleigh (b)  
    random_rayleigh (b,n)

b>0で、 Rayleigh(b)確率変量を返します。 二番目の引数 nとともに random_paretoをコールすると、 サイズ nのランダムな標本がシミュレートされます。

実装アルゴリズムは一般逆函数法に基づいています。

この関数を利用するには始めに load("distrib")と書いてください。

Categories:  Package distrib · Random numbers

関数: pdf_laplace (x,a,b)

b>0で、 Laplace(a,b)確率変数の密度函数の xでの値を返します。

この関数を利用するには始めに load("distrib")と書いてください。

Categories:  Package distrib

関数: cdf_laplace (x,a,b)

b>0で、 Laplace(a,b)確率変数の分布函数の xでの値を返します。 この関数を利用するには始めに load("distrib")と書いてください。

Categories:  Package distrib

関数: quantile_laplace (q,a,b)

b>0で、 Laplace(a,b)確率変数のq-分位数を返します; 言い換えれば、これは cdf_laplaceの逆函数です。 引数 q[0,1]の要素でなければいけません。 この関数を利用するには始めに load("distrib")と書いてください。

Categories:  Package distrib

関数: mean_laplace (a,b)

b>0で、 Laplace(a,b)確率変数の平均を返します。 この関数を利用するには始めに load("distrib")と書いてください。

Categories:  Package distrib

関数: var_laplace (a,b)

b>0で、 Laplace(a,b)確率変数の分散を返します。 この関数を利用するには始めに load("distrib")と書いてください。

Categories:  Package distrib

関数: std_laplace (a,b)

b>0で、 Laplace(a,b)確率変数の標準偏差を返します。 この関数を利用するには始めに load("distrib")と書いてください。

Categories:  Package distrib

関数: skewness_laplace (a,b)

b>0で、 Laplace(a,b)確率変数の歪度係数を返します。 この関数を利用するには始めに load("distrib")と書いてください。

Categories:  Package distrib

関数: kurtosis_laplace (a,b)

b>0で、 Laplace(a,b)確率変数の尖度係数を返します。 この関数を利用するには始めに load("distrib")と書いてください。

Categories:  Package distrib

関数: random_laplace (a,b)  
    random_laplace (a,b,n)

b>0で、 Laplace(a,b)確率変量を返します。 三番目の引数 nとともに random_laplaceをコールすると、サイズ nのランダムな標本がシミュレートされます。

実装アルゴリズムは一般逆函数法に基づいています。

この関数を利用するには始めに load("distrib")と書いてください。

Categories:  Package distrib · Random numbers

関数: pdf_cauchy (x,a,b)

b>0で、 Cauchy(a,b)確率変数の密度函数のxでの値を返します。

この関数を利用するには始めに load("distrib")と書いてください。

Categories:  Package distrib

関数: cdf_cauchy (x,a,b)

b>0で、 Cauchy(a,b)確率変数の分布函数のxでの値を返します。 この関数を利用するには始めに load("distrib")と書いてください。

Categories:  Package distrib

関数: quantile_cauchy (q,a,b)

b>0で、 Cauchy(a,b)確率変数のq-分位数を返します; 言い換えると、これは cdf_cauchyの逆函数です。 引数 q[0,1]の要素でなければいけません。 この関数を利用するには始めに load("distrib")と書いてください。

Categories:  Package distrib

関数: random_cauchy (a,b)  
    random_cauchy (a,b,n)

b>0で、 Cauchy(a,b)確率変量を返します。 三番目の引数 nとともに random_cauchyをコールすると、 サイズ nのランダムな標本がシミュレートされます。

実装アルゴリズムは一般逆函数法に基づいています。

この関数を利用するには始めに load("distrib")と書いてください。

Categories:  Package distrib · Random numbers

関数: pdf_gumbel (x,a,b)

b>0で、 Gumbel(a,b)確率変数の密度函数のxでの値を返します。 この関数を利用するには始めに load("distrib")と書いてください。

Categories:  Package distrib

関数: cdf_gumbel (x,a,b)

b>0で、 Gumbel(a,b)確率変数の分布函数のxでの値を返します。 この関数を利用するには始めに load("distrib")と書いてください。

Categories:  Package distrib

関数: quantile_gumbel (q,a,b)

b>0で、 Gumbel(a,b)確率変数のq-分位数を返します; 言い換えれば、これは cdf_gumbelの逆函数です。 引数 q[0,1]の要素でなければいけません。 この関数を利用するには始めに load("distrib")と書いてください。

Categories:  Package distrib

関数: mean_gumbel (a,b)

b>0で、 Gumbel(a,b)確率変数の平均を返します。

 
(%i1) load ("distrib")$
(%i2) mean_gumbel(a,b);
(%o2)                     %gamma b + a

ここでシンボル %gammaは Euler-Mascheroni定数を表します。 %gammaも参照してください。

Categories:  Package distrib

関数: var_gumbel (a,b)

b>0で、 Gumbel(a,b)確率変数の分散を返します。 この関数を利用するには始めに load("distrib")と書いてください。

Categories:  Package distrib

関数: std_gumbel (a,b)

b>0で、 Gumbel(a,b)確率変数の標準偏差を返します。 この関数を利用するには始めに load("distrib")と書いてください。

Categories:  Package distrib

関数: skewness_gumbel (a,b)

b>0で、 Gumbel(a,b)確率変数の歪度係数を返します。

 
(%i1) load ("distrib")$
(%i2) skewness_gumbel(a,b);
                                  3/2
                               2 6    zeta(3)
(%o2)                          --------------
                                       3
                                    %pi

ここで zetaはRiemannのゼータ函数を表します。

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関数: kurtosis_gumbel (a,b)

b>0で、 Gumbel(a,b)確率変数の尖度係数を返します。 この関数を利用するには始めに load("distrib")と書いてください。

Categories:  Package distrib · Package distrib

関数: random_gumbel (a,b)  
    random_gumbel (a,b,n)

b>0で、 Gumbel(a,b)確率変量を返します。 三番目の引数 nとともに random_gumbelをコールすると、 サイズ nのランダムな標本がシミュレートされます。

実装アルゴリズムは一般逆函数法に基づいています。

この関数を利用するには始めに load("distrib")と書いてください。

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52.3 Functions and Variables for discrete distributions

関数: pdf_general_finite_discrete (x,v)

Pr(X=i) = v_iのようなベクトル確率 vを持つ一般有限離散確率変数の確率函数の xでの値を返します。 ベクトル vは非負式のリストであり得ます。 その成分は確率のベクトルを得るために規格化されます。 この関数を利用するには始めに load("distrib")と書いてください。

 
(%i1) load ("distrib")$
(%i2) pdf_general_finite_discrete(2, [1/7, 4/7, 2/7]);
                                4
(%o2)                           -
                                7
(%i3) pdf_general_finite_discrete(2, [1, 4, 2]);
                                4
(%o3)                           -
                                7

Categories:  Package distrib

関数: cdf_general_finite_discrete (x,v)

ベクトル確率 vを持つ一般有限離散確率変数の分布函数の xでの値を返します。

さらなる詳細は pdf_general_finite_discreteを参照してください。

 
(%i1) load ("distrib")$
(%i2) cdf_general_finite_discrete(2, [1/7, 4/7, 2/7]);
                                5
(%o2)                           -
                                7
(%i3) cdf_general_finite_discrete(2, [1, 4, 2]);
                                5
(%o3)                           -
                                7
(%i4) cdf_general_finite_discrete(2+1/2, [1, 4, 2]);
                                5
(%o4)                           -
                                7

Categories:  Package distrib

関数: quantile_general_finite_discrete (q,v)

ベクトル確率 vを持つ一般有限離散確率変数の q-分位数を返します。

さらなる詳細は pdf_general_finite_discreteを参照してください。

Categories:  Package distrib

関数: mean_general_finite_discrete (v)

ベクトル確率 vを持つ一般有限離散確率変数の平均を返します。

さらなる詳細は pdf_general_finite_discreteを参照してください。

Categories:  Package distrib

関数: var_general_finite_discrete (v)

ベクトル確率 vを持つ一般有限離散確率変数の分散を返します。

さらなる詳細は pdf_general_finite_discreteを参照してください。

Categories:  Package distrib

関数: std_general_finite_discrete (v)

ベクトル確率 vを持つ一般有限離散確率変数の標準偏差を返します。

さらなる詳細は pdf_general_finite_discreteを参照してください。

Categories:  Package distrib

関数: skewness_general_finite_discrete (v)

ベクトル確率 vを持つ一般有限離散確率変数の歪度係数を返します。

さらなる詳細は pdf_general_finite_discreteを参照してください。

Categories:  Package distrib

関数: kurtosis_general_finite_discrete (v)

ベクトル確率 vを持つ一般有限離散確率変数の尖度係数を返します。

さらなる詳細は pdf_general_finite_discreteを参照してください。

Categories:  Package distrib

関数: random_general_finite_discrete (v)  
    random_general_finite_discrete (v,m)

ベクトル確率 vを持つ一般有限離散確率変量を返します。 二番目の引数 mとともに random_general_finite_discreteをコールすると、サイズ mのランダムな標本がシミュレートされます。

さらなる詳細は pdf_general_finite_discreteを参照してください。

 
(%i1) load ("distrib")$
(%i2) random_general_finite_discrete([1,3,1,5]);
(%o2)                          4
(%i3) random_general_finite_discrete([1,3,1,5], 10);
(%o3)           [4, 2, 2, 3, 2, 4, 4, 1, 2, 2]

Categories:  Package distrib · Random numbers

関数: pdf_binomial (x,n,p)

0 \leq p \leq 1かつ nは正の整数で、 Binomial(n,p)確率変数の確率函数の xでの値を返します。 この関数を利用するには始めに load("distrib")と書いてください。

Categories:  Package distrib

関数: cdf_binomial (x,n,p)

0 \leq p \leq 1かつ nは正の整数で、 Binomial(n,p)確率変数の分布函数の xでの値を返します。

 
(%i1) load ("distrib")$
(%i2) cdf_binomial(5,7,1/6);
                            7775
(%o2)                       ----
                            7776
(%i3) float(%);
(%o3)               .9998713991769548

Categories:  Package distrib

関数: quantile_binomial (q,n,p)

0 \leq p \leq 1かつ nは正の整数で、 Binomial(n,p)確率変数のq-分位数を返します; 言い換えれば、これは cdf_binomialの逆函数です。 引数 q[0,1]の要素でなければいけません。 この関数を利用するには始めに load("distrib")と書いてください。

Categories:  Package distrib

関数: mean_binomial (n,p)

0 \leq p \leq 1かつ nは正の整数で、 Binomial(n,p)確率変数の平均を返します。 この関数を利用するには始めに load("distrib")と書いてください。

Categories:  Package distrib

関数: var_binomial (n,p)

0 \leq p \leq 1かつ nは正の整数で、 Binomial(n,p)確率変数の分散を返します。 この関数を利用するには始めに load("distrib")と書いてください。

Categories:  Package distrib

関数: std_binomial (n,p)

0 \leq p \leq 1かつ nは正の整数で、 Binomial(n,p)確率変数の標準偏差を返します。 この関数を利用するには始めに load("distrib")と書いてください。

Categories:  Package distrib

関数: skewness_binomial (n,p)

0 \leq p \leq 1かつ nは正の整数で、 Binomial(n,p)確率変数の歪度係数を返します。 この関数を利用するには始めに load("distrib")と書いてください。

Categories:  Package distrib

関数: kurtosis_binomial (n,p)

0 \leq p \leq 1かつ nは正の整数で、 Binomial(n,p)確率変数の尖度係数を返します。 この関数を利用するには始めに load("distrib")と書いてください。

Categories:  Package distrib

関数: random_binomial (n,p)  
    random_binomial (n,p,m)

0 \leq p \leq 1かつ nは正の整数で、 Binomial(n,p)確率変量を返します。 三番目の引数 mとともにrandom_binomialをコールすると、 サイズ mのランダムな標本がシミュレートされます。

実装アルゴリズムは Kachitvichyanukul, V. and Schmeiser, B.W. (1988) Binomial Random Variate Generation. Communications of the ACM, 31, Feb., 216.に 記載されているものに基づいています。

この関数を利用するには始めに load("distrib")と書いてください。

Categories:  Package distrib · Random numbers

関数: pdf_poisson (x,m)

m>0で、 Poisson(m)確率変数の確率函数の xでの値を返します。

この関数を利用するには始めに load("distrib")と書いてください。

Categories:  Package distrib

関数: cdf_poisson (x,m)

m>0で、 Poisson(m)確率変数の分布函数の xでの値を返します。

 
(%i1) load ("distrib")$
(%i2) cdf_poisson(3,5);
(%o2)       gamma_incomplete_regularized(4, 5)
(%i3) float(%);
(%o3)               .2650259152973623

Categories:  Package distrib

関数: quantile_poisson (q,m)

m>0で、 Poisson(m)確率変数の q-分位数を返します; 言い換えると、これは cdf_poissonの逆函数です。 引数 q[0,1]の要素でなればいけません。 この関数を利用するには始めに load("distrib")と書いてください。

Categories:  Package distrib

関数: mean_poisson (m)

m>0で、 Poisson(m)確率変数の平均を返します。 この関数を利用するには始めに load("distrib")と書いてください。

Categories:  Package distrib

関数: var_poisson (m)

m>0で、 Poisson(m)確率変数の分散を返します。 この関数を利用するには始めに load("distrib")と書いてください。

Categories:  Package distrib

関数: std_poisson (m)

m>0で、 Poisson(m)確率変数の標準偏差を返します。 この関数を利用するには始めに load("distrib")と書いてください。

Categories:  Package distrib

関数: skewness_poisson (m)

m>0で、 Poisson(m)確率変数の歪度係数を返します。 この関数を利用するには始めに load("distrib")と書いてください。

Categories:  Package distrib

関数: kurtosis_poisson (m)

m>0で、 Poisson(m)確率変数の尖度係数を返します。 この関数を利用するには始めに load("distrib")と書いてください。

Categories:  Package distrib

関数: random_poisson (m)  
    random_poisson (m,n)

m>0で、 Poisson(m)確率変量を返します。 二番目の引数 nとともに random_binomialをコールすると、 サイズ nのランダムな標本がシミュレートされます。

実装アルゴリズムは Ahrens, J.H. and Dieter, U. (1982) Computer Generation of Poisson Deviates From Modified Normal Distributions. ACM Trans. Math. Software, 8, 2, June,163-179.に記述されたものです。

この関数を利用するには始めに load("distrib")と書いてください。

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関数: pdf_bernoulli (x,p)

0 \leq p \leq 1で、 Bernoulli(p)確率変数の確率函数の xでの値を返します。

Bernoulli(p)確率変数は Binomial(1,p)と同値です。

 
(%i1) load ("distrib")$
(%i2) pdf_bernoulli(1,p);
(%o2)                           p

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関数: cdf_bernoulli (x,p)

0 \leq p \leq 1で、 Bernoulli(p)確率変数の分布函数の xでの値を返します。 この関数を利用するには始めに load("distrib")と書いてください。

Categories:  Package distrib

関数: quantile_bernoulli (q,p)

0 \leq p \leq 1で、 Bernoulli(p)確率変数のq-分位数を返します; 言い換えると、これは cdf_bernoulliの逆函数です。 引数 q[0,1]の要素でなければいけません。 この関数を利用するには始めに load("distrib")と書いてください。

Categories:  Package distrib

関数: mean_bernoulli (p)

0 \leq p \leq 1で、 Bernoulli(p)確率変数の平均を返します。

Bernoulli(p)確率変数は Binomial(1,p)と同値です。

 
(%i1) load ("distrib")$
(%i2) mean_bernoulli(p);
(%o2)                           p

Categories:  Package distrib

関数: var_bernoulli (p)

0 \leq p \leq 1で、 Bernoulli(p)確率変数の分散を返します。

Bernoulli(p)確率変数は Binomial(1,p)と同値です。 なので、 Maximaが結果を得るのに十分な情報を持たない時は、二項分散に基づいた名詞形を返します。

 
(%i1) load ("distrib")$
(%i2) var_bernoulli(p);
(%o2)                       (1 - p) p

Categories:  Package distrib

関数: std_bernoulli (p)

0 \leq p \leq 1で、 Bernoulli(p)確率変数の標準偏差を返します。

Bernoulli(p)確率変数は Binomial(1,p)と同値です。

 
(%i1) load ("distrib")$
(%i2) std_bernoulli(p);
(%o2)                           sqrt((1 - p) p)

Categories:  Package distrib

関数: skewness_bernoulli (p)

0 \leq p \leq 1で、 Bernoulli(p)確率変数の歪度係数を返します。

Bernoulli(p)確率変数は Binomial(1,p)と同値です。

 
(%i1) load ("distrib")$
(%i2) skewness_bernoulli(p);
                                    1 - 2 p
(%o2)                           ---------------
                                sqrt((1 - p) p)

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関数: kurtosis_bernoulli (p)

0 \leq p \leq 1で、 Bernoulli(p)確率変数の尖度係数を返します。

Bernoulli(p)確率変数は Binomial(1,p)と同値です。

 
(%i1) load ("distrib")$
(%i2) kurtosis_bernoulli(p);
                         1 - 6 (1 - p) p
(%o2)                    ---------------
                            (1 - p) p

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関数: random_bernoulli (p)  
    random_bernoulli (p,n)

0 \leq p \leq 1で、 Bernoulli(p)確率変量を返します。 二番目の引数 nとともに random_bernoulliをコールすると、 サイズ nのランダムな標本がシミュレートされます。

これは random組み込みMaxima関数の直接の応用です。

randomも参照してください。 この関数を利用するには始めに load("distrib")と書いてください。

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関数: pdf_geometric (x,p)

0 < p <= 1Geometric(p)(幾何)確率変数の確率函数の xでの値を返します。

確率関数は p (1 - p)^xと定義されます。 これは最初の成功の前の x失敗の確率と解釈されます。

load("distrib")はこの関数をロードします。

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関数: cdf_geometric (x,p)

0 < p <= 1Geometric(p)(幾何)確率変数の分布函数の xでの値を返します。

分布函数が導出される確率が p (1 - p)^xとして定義されます。 これは最初の成功の前の x失敗の確率と解釈されます。

load("distrib")はこの関数をロードします。

Categories:  Package distrib

関数: quantile_geometric (q,p)

0 < p <= 1; の Geometric(p)ランダム変数の q-分位数を返します。 言い換えるとこれは cdf_geometricの逆数です。 引数 q[0,1]の要素でなければいけません。

分位数が導出される確率は p (1 - p)^xと定義されます。 これは最初の成功の前の x失敗の確率と解釈されます。

load("distrib")はこの関数をロードします。

Categories:  Package distrib

関数: mean_geometric (p)

0 < p <= 1Geometric(p)(幾何)確率変数の平均を返します。

平均が導出される確率は p (1 - p)^xと定義されます。 これは最初の成功の前の x失敗の確率と解釈されます。

load("distrib")はこの関数をロードします。

Categories:  Package distrib

関数: var_geometric (p)

0 < p <= 1Geometric(p)(幾何)確率変数の分散を返します。

分散が導出される確率は p (1 - p)^xと定義されます。 これは最初の成功の前の x失敗の確率と解釈されます。

load("distrib")はこの関数をロードします。

Categories:  Package distrib

関数: std_geometric (p)

0 < p <= 1Geometric(p)(幾何)確率変数の標準偏差を返します。

標準偏差が導出される確率は p (1 - p)^xと定義されます。 これは最初の成功の前の x失敗の確率と解釈されます。

load("distrib")はこの関数をロードします。

Categories:  Package distrib

関数: skewness_geometric (p)

0 < p <= 1Geometric(p)(幾何)確率変数の歪度係数を返します。

歪度係数が導出される確率は p (1 - p)^xと定義されます。 これは最初の成功の前の x失敗の確率と解釈されます。

load("distrib")はこの関数をロードします。

Categories:  Package distrib

関数: kurtosis_geometric (p)

0 < p <= 1. の Geometric(p)(幾何)確率変数の尖度係数を返します。

尖度係数が導出される確率は p (1 - p)^xと定義されます。 これは最初の成功の前の x失敗の確率と解釈されます。

load("distrib")はこの関数をロードします。

Categories:  Package distrib

関数: random_geometric (p)  
    random_geometric (p,n)

random_geometric(p)0 < p <= 1. の Geometric(p)分布から1つのランダムサンプルを返します。

random_geometric(p, n)n個のランダムサンプルのリストを返します。

アルゴリズムは Bernoulli試行のシミュレーションに基づいています。

ランダムサンプルが導出される確率は p (1 - p)^xと定義されます。 これは最初の成功の前の x失敗の確率と解釈されます。

load("distrib")はこの関数をロードします。

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関数: pdf_discrete_uniform (x,n)

nが厳密に正の整数で、 Discrete Uniform(n)確率変数の確率函数の xでの値を返します。 この関数を利用するには始めに load("distrib")と書いてください。

Categories:  Package distrib

関数: cdf_discrete_uniform (x,n)

nが厳密に正の整数で、 Discrete Uniform(n)確率変数の分風函数の xでの値を返します。 この関数を利用するには始めに load("distrib")と書いてください。

Categories:  Package distrib

関数: quantile_discrete_uniform (q,n)

nが厳密に正の整数で、 Discrete Uniform(n)確率変数の q-分位数を返します; 言い換えると、これは cdf_discrete_uniformの逆函数です。 引数 q[0,1]の要素でなければいけません。 この関数を利用するには始めに load("distrib")と書いてください。

Categories:  Package distrib

関数: mean_discrete_uniform (n)

nが厳密に正の整数で、 Discrete Uniform(n)確率変数の平均を返します。 この関数を利用するには始めに load("distrib")と書いてください。

Categories:  Package distrib

関数: var_discrete_uniform (n)

nが厳密に正の整数で、 Discrete Uniform(n)確率変数の分散を返します。 この関数を利用するには始めに load("distrib")と書いてください。

Categories:  Package distrib

関数: std_discrete_uniform (n)

nが厳密に正の整数で、 Discrete Uniform(n)確率変数の標準偏差を返します。 この関数を利用するには始めに load("distrib")と書いてください。

Categories:  Package distrib

関数: skewness_discrete_uniform (n)

nが厳密に正の整数で、 Discrete Uniform(n)確率変数の歪度係数を返します。 この関数を利用するには始めに load("distrib")と書いてください。

Categories:  Package distrib

関数: kurtosis_discrete_uniform (n)

nが厳密に正の整数で、 Discrete Uniform(n)確率変数の尖度係数を返します。 この関数を利用するには始めに load("distrib")と書いてください。

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関数: random_discrete_uniform (n)  
    random_discrete_uniform (n,m)

nが厳密に正の整数で、 Discrete Uniform(n)確率変量を返します。 二番目の引数 mとともにrandom_discrete_unformをコールすると、 サイズ mのランダムな標本がシミュレートされます。

これは random組み込み Maxima関数の直接の応用です。

randomも参照してください。 この関数を利用するには始めに load("distrib")と書いてください。

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関数: pdf_hypergeometric (x,n1,n2,n)

n1, n2, nが非負整数でかつ n<=n1+n2で、 Hypergeometric(n1,n2,n)確率変数の確率函数の xでの値を返します。 n1がクラス Aのオブジェクトの数、 n2がクラス Bのオブジェクトの数、 nが置き換えなしのサンプルのサイズとして、この関数は 「x個のオブジェクトが厳密にクラス Aである」事象の確率を返します。

この関数を利用するには始めに load("distrib")と書いてください。

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関数: cdf_hypergeometric (x,n1,n2,n)

n1, n2, nが非負整数でかつ n<=n1+n2で、 Hypergeometric(n1,n2,n)確率変数の分布函数の xでの値を返します。 この関数を利用するには始めに load("distrib")と書いてください。

Categories:  Package distrib

関数: quantile_hypergeometric (q,n1,n2,n)

n1, n2, nが非負整数でかつ n<=n1+n2で、 Hypergeometric(n1,n2,n)確率変数の q-分位数を返します。 言い換えると、これは cdf_hypergeometricの逆函数です。 引数 q[0,1]の要素でなければいけません。 この関数を利用するには始めに load("distrib")と書いてください。

Categories:  Package distrib

関数: mean_hypergeometric (n1,n2,n)

n1, n2, nが非負整数でかつ n<=n1+n2で、 Hypergeometric(n1,n2,n)確率変数の平均を返します。 この関数を利用するには始めに load("distrib")と書いてください。

Categories:  Package distrib

関数: var_hypergeometric (n1,n2,n)

n1, n2, nが非負整数でかつ n<=n1+n2で、 Hypergeometric(n1,n2,n)確率変数の分散を返します。 この関数を利用するには始めに load("distrib")と書いてください。

Categories:  Package distrib

関数: std_hypergeometric (n1,n2,n)

n1, n2, nが非負整数でかつ n<=n1+n2で、 Hypergeometric(n1,n2,n)確率変数の標準偏差を返します。 この関数を利用するには始めに load("distrib")と書いてください。

Categories:  Package distrib

関数: skewness_hypergeometric (n1,n2,n)

n1, n2, nが非負整数でかつ n<=n1+n2で、 Hypergeometric(n1,n2,n)確率変数の標準偏差を返します。 この関数を利用するには始めに load("distrib")と書いてください。

Categories:  Package distrib

関数: kurtosis_hypergeometric (n1,n2,n)

n1, n2, nが非負整数でかつ n<=n1+n2で、 Hypergeometric(n1,n2,n)確率変数の歪度係数を返します。 この関数を利用するには始めに load("distrib")と書いてください。

Categories:  Package distrib

関数: random_hypergeometric (n1,n2,n)  
    random_hypergeometric (n1,n2,n,m)

n1, n2, nが非負整数でかつ n<=n1+n2で、 Hypergeometric(n1,n2,n)確率変量を返します。 四番目の引数 mとともに random_hypergeometricをコールすると、サイズ mのランダムな標本がシミュレートされます。

Kachitvichyanukul, V., Schmeiser, B.W. (1985) Computer generation of hypergeometric random variates. Journal of Statistical Computation and Simulation 22, 127-145.に記述されたアルゴリズム。

この関数を利用するには始めに load("distrib")と書いてください。

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関数: pdf_negative_binomial (x,n,p)

0 \leq p \leq 1かつ nが正の数で、 Negative Binomial(n,p)確率変数の確率函数の xでの値を返します。 この関数を利用するには始めに load("distrib")と書いてください。

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関数: cdf_negative_binomial (x,n,p)

0 \leq p \leq 1かつ nが正の数で、 Negative Binomial(n,p)確率変数の分布函数の xでの値を返します。

 
(%i1) load ("distrib")$
(%i2) cdf_negative_binomial(3,4,1/8);
                            3271
(%o2)                      ------
                           524288

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関数: quantile_negative_binomial (q,n,p)

0 \leq p \leq 1かつ nが正の数で、 Negative Binomial(n,p)確率変数の q-分位数を返します; 言い換えると、これは cdf_negative_binomialの逆函数です。 引数 q[0,1]の要素でなければいけません。 この関数を利用するには始めに load("distrib")と書いてください。

Categories:  Package distrib

関数: mean_negative_binomial (n,p)

0 \leq p \leq 1かつ nが正の数で、 Negative Binomial(n,p)確率変数の平均を返します; この関数を利用するには始めに load("distrib")と書いてください。

Categories:  Package distrib

関数: var_negative_binomial (n,p)

0 \leq p \leq 1かつ nが正の数で、 Negative Binomial(n,p)確率変数の分散を返します。 この関数を利用するには始めに load("distrib")と書いてください。

Categories:  Package distrib

関数: std_negative_binomial (n,p)

0 \leq p \leq 1かつ nが正の数で、 Negative Binomial(n,p)確率変数の標準偏差を返します。 この関数を利用するには始めに load("distrib")と書いてください。

Categories:  Package distrib

関数: skewness_negative_binomial (n,p)

0 \leq p \leq 1かつ nが正の数で、 Negative Binomial(n,p)確率変数の歪度係数を返します。 この関数を利用するには始めに load("distrib")と書いてください。

Categories:  Package distrib

関数: kurtosis_negative_binomial (n,p)

0 \leq p \leq 1かつ nが正の数で、 Negative Binomial(n,p)確率変数の尖度係数を返します。 この関数を利用するには始めに load("distrib")と書いてください。

Categories:  Package distrib

関数: random_negative_binomial (n,p)  
    random_negative_binomial (n,p,m)

0 \leq p \leq 1かつ nが正の数で、 Negative Binomial(n,p)確率変量を返します。 三番目の引数 mとともにrandom_negative_binomialをコールすると、 サイズ mのランダムな標本がシミュレートされます。

Devroye, L. (1986) Non-Uniform Random Variate Generation. Springer Verlag, p. 480.に記載されたアルゴリズム。

この関数を利用するには始めに load("distrib")と書いてください。

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